Question

在ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是           ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是          ；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

 

Answer 1

解：（1）四边形EGFH是平行四边形．                              ---------------1分

证明：∵ABCD的对角线AC、BD交于点O．

∴点O是   ABCD的对称中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四边形EGFH是平行四边形．                                    ---------------3分

（2）菱形．                                                      ---------------2分

（3）菱形．                                                      ---------------2分

（4）四边形EGFH是正方形．                                      ---------------1分

证明：∵AC=BD，∴   ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴   ABCD是菱形．

∴   ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．

∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．

∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． 

由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.

∴四边形EGFH是正方形．                                        ---------------3分