题目内容
【题目】如图，如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-5x+4；（2）点p的坐标为(
,
)、(
,
),(
-
)、(
，2+
),或(
，2-
)．
【解析】试题分析：
（1）把点B、C的坐标代入
列出方程组，解方程组求得
的值即可得到二次函数的解析式；
（2）由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，设点M的横坐标为m，由此可用含m的代数式表示出点M、N的纵坐标，从而可用含m的式子表达出MN的长度，由点M在
轴下方可求得m的取值范围为： 
，由此即可求出线段MN的最大值；
（3）由题意结合（2）可得点N的坐标，由点P在抛物线对称轴上，可设其坐标为(2.5，n)，结合点B和点N的坐标即可表达出PB、PN、BN的长度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三种情况讨论计算即可求得符合题意的点P的坐标.
试题解析：
（1）将点B（4，0）、C（0，4）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得
，得
，
∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4.
（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-5m+4），设直线BC的解析式为y=kx+4，
把点（4，0）代入y=kx+4，中，
得：0=4k+4，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+4.
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，-m+4），
∴MN==-m+4-(m2-5m+4)=-（m-2）2+4.
∵抛物线的解析式为：y=x2-5x+4=（x-2.5）2，
∴抛物线的对称轴为x=2.5，
∴由点B的坐标为（4，0）可得点A的坐标为（1，0），
又∵点M在x轴下方，
∴1<m<4.
∴当m=2时，MN最大=4.
（3）由（2）可得：当m=2时，点N的坐标为（2，2），
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴可设点P坐标为（2.5，n）,
∴PB=
，PN=
=
,
BN=
=2
,
若
为等腰三角形，则存在以下三种情况：
①当
时，即
解得： 
，此时点
的坐标为(
， 
)；
②当
时，即
=2
，解得： 
，
此时点
的坐标为(
， 
)或(
， 
)；
③当
时，即
=2
，解得： 
，
此时点
的坐标为(
,2+
)或(
,2
)．
综上可知：在抛物线的对称轴
上存在点
，使
是等腰三角形，点P的坐标为(
,
)、(
,
),(
-
)、(
，2+
),或(
，2-
)．
