Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，3）、B（9，5），C（14，0），动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA﹣AB﹣BC运动，在OA、AB、BC上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒），当P、Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．

（1）求AB所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值；

（3）在P、Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=（2≤t≤6），当t=5时，S有最大值为；（3）t的值为或或或．

【解析】

试题（1）利用待定系数法求AB所在直线的函数表达式；

（2）由题意得：OP=t，PC=14﹣t，求出PC边上的高，代入面积公式计算，并根据二次函数的最值公式求出最大值即可；

（3）分别以Q在OA、AB、BC上运动时讨论：

①当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图2），②当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图3），③当6＜t≤10时，i）线段PQ的中垂线经过点C（如图4），ii）线段PQ的中垂线经过点B（如图5），只要能画出图形，根据中垂线的性质和勾股定理列方程可得结论．

试题解析：（1）设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b，把A（3，）、B（9，）代入得： ，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为；

（2）如图1，由题意得：OP=t，则PC=14﹣t，过A作AD⊥x轴于D，过B作BF⊥x轴于F，过Q作QH⊥x轴于H，过A作AE⊥BF于E，交QH于G，∵A（3，），∴OD=3，AD=，由勾股定理得：OA=6，∵B（9，），∴AE=9﹣3=6，BE=﹣=，Rt△AEB中，AB= =，tan∠BAE===，∴∠BAE=30°，点Q过OA的时间：t=6÷3=2（秒），∴AQ=（t﹣2），∴QG= AQ=，∴QH=+=，在△PQC中，PC=14﹣t，PC边上的高为，t==4（秒），∴S=（14﹣t）（），即S=（2≤t≤6），∴当t=5时，S有最大值为；

（3）①当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图2），过Q作QG⊥x轴于G，由题意得：OQ=3t，OP=t，∠AOG=60°，∴∠OQG=30°，∴OG=t，∴CG=14﹣t，sin60°=，∴QG=×3t= ，在Rt△QGC中，由勾股定理得：QG2+CG2=QC2=PC2，可得方程，解得：t1=，t2=0（舍），此时t=；

②当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图3），∴AQ=AP，过A作AG⊥x轴于G，由题意得：OP=t，AQ=（t﹣2），则PG=t﹣3，AP=（t﹣2），在Rt△AGP中，由勾股定理得：AP2=AG2+PG2，可得方程：，解得：t1=，t2=（舍去），此时t=；

③当6＜t≤10时，分两种情况：

i）线段PQ的中垂线经过点C（如图4），∴PC=CQ，由（2）知：OA=6，AB=，BC=10，t==6，∴BQ=（t﹣6），∴CQ=BC﹣BQ=10﹣（t﹣6）=25﹣t，可得方程为：14﹣t=25﹣t，解得：t=；

ii）线段PQ的中垂线经过点B（如图5），∴BP=BQ，过B作BG⊥x轴于G，则BG=，PG=t﹣9，BQ=（t﹣6），由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，可得方程为：，解得：t1=，t2=（舍去），此时t=，综上所述，t的值为或或或．