Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的一边 AB 在 x 轴上，∠ABC=90°，点 C（4，8） 在第一象限内，AC 与 y 轴交于点 E，抛物线 y=+bx+c 经过 A、B 两点，与 y 轴交于点 D（0，﹣6）．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求 ED 的长；

（3）若点 M 是 x 轴上一点（不与点 A 重合），抛物线上是否存在点 N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6；（2）；（3） S=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）满足条件的N点坐标为（，）；（，﹣）．

【解析】（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=x2-x-6；

（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+，则可确定E（0，），然后计算DE的长；

（3）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根据角平分线的性质得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，则F（4，3），接着求出直线AF的解析式为y=x+1，于是通过解方程组，得N点坐标为（，）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，先在证明∴Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-2x-4，然后解方程组得N′的坐标．

（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，﹣6）代入y=+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=x﹣6；

（2）设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣2，0），C（4，8）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+，

当x=0时，y=x+=，则E（0，），

∴DE=+6=；

（3）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，

则FH=FB，

易得AH=AB=6，

∵AC=，

∴CH=10﹣6=4，

∵cos∠ACB=，

∴CF=，

∴F（4，3），

易得直线AF的解析式为y=x+1，

解方程组得或，

∴N点坐标为（，）；

当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴，即，解得OG=4，

∴G（0，﹣4），

易得直线AG的解析式为y=﹣2x﹣4，

解方程组得或，

∴N′的坐标为（，﹣），

综上所述，满足条件的N点坐标为（，）；（，﹣）．