题目内容
如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4
cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
| 3 |
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
考点：圆的综合题
专题：几何综合题,压轴题
分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；
（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．
（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．
解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=4
cm，AD=4cm，
∴CD=4
cm，
∴tan∠DAC=
=
=
，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4
，
∴tan∠C1A1D1=
，∴∠C1A1D1=60°，
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，
∴A1E=
=
，
∵A1E=AA1-OO1-2=t-2，
∴t-2=
，
∴t=
+2，
∴OO1=3t=2
+6；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，
∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=
，
∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+
，
∴4t1+
-3t1=2，
∴t1=2-
，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴
+2-（2-
）=t2-（
+2），
解得：t2=2+2
，
综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2-
＜t＜2+2
．
∴∠OAD=45°，
∵AB=4
| 3 |
∴CD=4
| 3 |
∴tan∠DAC=
| CD |
| AD |
4
| ||
| 4 |
| 3 |
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4
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∴tan∠C1A1D1=
| 3 |
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，
∴A1E=
| 2 |
| tan60° |
2
| ||
| 3 |
∵A1E=AA1-OO1-2=t-2，
∴t-2=
2
| ||
| 3 |
∴t=
2
| ||
| 3 |
∴OO1=3t=2
| 3 |
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，
∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=
2
| ||
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∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+
2
| ||
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∴4t1+
2
| ||
| 3 |
∴t1=2-
2
| ||
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②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
解得：t2=2+2
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综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2-
2
| ||
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点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．
练习册系列答案
应用题天天练四川大学出版社系列答案
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