Question

【题目】如图甲所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为该抛物线的顶点．

（1）如图甲，点为抛物线上，两点间的一动点，连接，，当面积最大时，在对称轴上有一动点，如图乙所示，过点作轴交轴于点，连接，，求的最小值，并求出此时点的坐标；

（2）如图丙所示，将绕着点旋转，得到，在旋转过程中，是否存在某个时刻使以点为顶点的三角形为以为腰的等腰三角形，如果存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2），．

【解析】

（1）过点作轴于点，交于点，由面积最大，得到最大，利用二次函数的性质得到点的坐标，将向左平移一个单位，使点于点重合，点落在轴上的点处，点关于轴对称的点为，此时最小，最小值为，从而可得答案，

（2）旋转过程中分两种情况讨论，当 时，设，过作于，过 作于 利用相似三角形的性质表示的坐标，利用勾股定理建立方程组求解可得答案，当同理可得答案．

解：（1）过点作轴于点，交于点

设，

，

当

令

解得：

设为

解得：

为

．

∴当时，最大，此时的面积也最大．

此时

将向左平移一个单位，使点于点重合，点落在轴上的点处，

点关于轴对称的点为，连接交轴于点过点作轴于点，

此时

，

为，

此时

（2）由题意知：

当 时，

如图，设，过作于，过 作于

解得：

或

如图，当

同理可得：

解得：

或，

综上：