Question

用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

Answer 1

分析：由特殊等腰直角三角形，设出直角边长，再表示其它各边边长，把金属框围成的面积用未知量x表示出来，转化为求函数最值问题，从而求出金属框围成的图形的最大面积．

解答：解：根据题意可得，等腰直角三角形直角边长为

2

xm，矩形的一边长为2xm，
其相邻边长为

20-(4+2 2 )x

2

=[10-(2+

2

)x]m，
∴该金属框围成的面积S=2x[10-(2+

2

)x]+

1

2

×

2

x•

2

x=-(3+2

2

)x2+20x（0＜x＜10-5

2

）
当x=-

b

2a

=

10

3+2 2

=30-20

2

时，金属围成的面积最大，
此时斜边长2x=（60-40

2

）m，
相邻边长为10-（2+

2

）•10(3-2

2

)=（10

2

-10）m，
S_最大=100（3-2

2

）=（300-200

2

）m²．
答：矩形的相邻两边长各为（60-40

2

）m，（10

2

-10）m，金属框围成的图形的最大面积为：（300-200

2

）m ²．

点评：此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．