Question

3．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（-4，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线经过点A（-4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），展开即可解决问题．
（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．
（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），即y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）存在．
当x=0，y═-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=2，则C（0，2），
∴OC=2，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
当∠PCB=90°时，
∵AC²=4²+2²=20，BC²=2²+1²=5，AB²=5²=25
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（-4，0）；
当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-4，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵BP∥AC，
∴直线BP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+p，
把B（1，0）代入得$\frac{1}{2}$+p=0，解得p=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-3}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（-5，-3）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（-4，0），P₂（-5，-3）；
（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2）
①当AC为边，CF₁∥AE₁，易知CF₁=3，此时E₁坐标（-7，0），
②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为-2，
∴-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2=-2，解得n=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，得到F₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2），F₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2），
根据中点坐标公式得到：$\frac{-4+m}{2}$=$\frac{0+\frac{-3-\sqrt{41}}{2}}{2}$或$\frac{-4+m}{2}$=$\frac{0+\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}{2}$，
解得m=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
此时E₂（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），E₃（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0），
③当AC为对角线时，AE₄=CF₁=3，此时E₄（-1，0），
综上所述满足条件的点E为（-7，0）或（-1，0）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、勾股定理、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是构建一次函数利用方程组解决点P坐标，学会分类讨论，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．