Question

【题目】如图①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

（1）试猜想线段BG和AE的关系为；

（2）如图②，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），判断（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）BG＝AE．AE⊥BG，理由见解析；（2）成立，理由见解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

（1）结论：BG=AE，BG⊥AE．
理由：如图1，延长EA交BG于K．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
∵∠GAK=∠DAE，
∴∠AKG=∠ADE=90°，
∴EA⊥BG．
（2）①成立BG=AE．
理由：如图2，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O．

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
∵∠GOK=∠DOE，
∴∠OKG=∠ODE=90°，
∴EA⊥BG．