Question

a、如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，CE与BA的延长线相交于F点．连结DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形．（2）若ACDF是矩形，试探求∠1与∠2之间的关系．b、如图2，等腰梯形ABCD中，E、F是两腰的中点，连接线段AF，作EG∥AF，交BC于G，再连结线段FG．（1）求证：四边形AEGF是平行四边形．（2）若AEGF是矩形，试探求∠1与∠2之间的关系．

Answer 1

a、如图1．
（1）证明：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE=ED，BF∥CD，
∴∠FAE=∠CDE．
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
又BF∥CD，即AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）解：∠1=2∠2．理由如下：
∵ACDF是矩形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAC=∠2，
∴∠EAC=∠ECA=∠2，
∴∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．

b、如图2．
（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，E、F是两腰的中点，
∴EF为梯形ABCD的中位线，
∴EF∥BC，
又∵EG∥AF，
∴∠AFE=∠FEG=∠2，∠BAF=∠BEG．
在△AEF与△EBG中，
，
∴△AEF≌△EBG，
∴AF=EG，
∵AF∥EG，
∴四边形AEGF是平行四边形；

（2）解：∠1=2∠2．理由如下：
理由是：∵AEGF是矩形，
∴FG∥AB，∠AEG=∠EGF=90°，
∴∠B=∠C=∠FGC，
∵∠2+∠B=90°，2∠B+∠1=180°，
∴2∠B+∠1=2（∠2+∠B）=180°，
∴∠1=2∠2．
分析：a、（1）由已知平行四边形ABCD中，E是AD的中点，可得AE=ED，BF∥CD，则∠FAE=∠CDE，又∠AEF=∠DEC，利用ASA证明△AEF≌△DEC，所以AF=CD，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得其为平行四边形；
（2）根据矩形的性质得AE=CE，则∠EAC=∠ECA，又由平行四边形ABCD得∠EAC=∠2，所以∠EAC=∠ECA=∠2，从而得∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．
b、（1）根据平行线的性质推出∠AFE=∠FEG=∠2，∠BAF=∠BEG，又AE=EB，利用AAS证明△AEF≌△EBG，推出AF=EG，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得其为平行四边形；
（2）根据矩形的性质得FG∥AB，∠AEG=∠EGF=90°，由等腰梯形及等腰三角形的性质得∠B=∠C=∠FGC，再根据三角形的内角和定理得∠2+∠B=90°，2∠B+∠1=180°，变形即可得出∠1=2∠2．
点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能推出（1）AF=CD，（2）AF=EG是解题的关键．