Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作⊙O：使点O在AB边上，OB为半径的⊙O与AC相切（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若BC=

3

，AB=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）作出∠ACB的角平分线，交AB于点O，再以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，进而利用△AEO∽△ABC，得出对应边关系，进而得出r的值．

解答：解：（1）如图所示：

（2）过点O作OE⊥AC于点E，
∵AC是∠ACB的角平分线，
∴OB=OE，点E为⊙O与AC的切点，
在△ABC中，∠ABC=90°，BC=

3

，AB=3，
∴AC=2

3

，
∵∠A=∠A，∠ABC=∠AEO=90°，
∴△AEO∽△ABC，
设⊙O的半径为r，
∴

r

3

=

3-r

2 3

，
解得：r=1，
答：⊙O的半径为1．

点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的性质和相似三角形的判定与性质，得出△AEO∽△ABC是解题关键．