题目内容

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，BD为对角线，点M从A点出发沿折线段A-B-C以每秒4个单位长度向C点运动，同时，点N从B点出发沿线段BD以每秒2 $数学公式$ 个单位长度向D点运动，若运动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）求BC、BD的长；
（2）当点M在线段AB上时（与A、B不重合），求当t为何值时，四边形AMND的面积等于为 $数学公式$ ？
（3）求当t为何值时，△BMN与△ABD相似？

解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=180°-60°-30°=90°，
∴BC=2CD=16，BD=8 $\text{[math]}$ ；

（2）过点D作梯形ABCD的高线h，则h=4 $\text{[math]}$ ，
∴S_梯形ABCD=12（AD+BC）h
=12×（8+16）×4 $\text{[math]}$
=48 $\text{[math]}$ ；
S_△BDC=12BC•h
=12×16×4 $\text{[math]}$
=32 $\text{[math]}$ ；
∴S_△ABD=S_梯形ABCD-S_△BDC=16 $\text{[math]}$ ；
过M作MH⊥BN于H，则AM=4t，BM=8-4t，MH=12BM=4-2t，BN=2 $\text{[math]}$ t，
当0＜4t＜8，即0＜t＜2时，点M在AB上，则
S_{四边形AMND}=16 $\text{[math]}$ -12BN•MH=16 $\text{[math]}$ -12×2 $\text{[math]}$ t•（4-2t）=2 $\text{[math]}$ t²-4 $\text{[math]}$ t+16 $\text{[math]}$
2 $\text{[math]}$ t²-4 $\text{[math]}$ t+16 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t₁= $\text{[math]}$ ，t₂= $\text{[math]}$

（3）△BMN与△ABD相似且∠ABD=∠MBN=30°
①当△MBN∽△ABD时，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当0＜t＜2时，M在AB上 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ；
当2＜t＜4时，M在BC上 $\text{[math]}$ ，故t₂=4；
②当△NBM∽△ABD时，
$\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
当0＜t＜2时，M在AB上 $\text{[math]}$ ，故t₃= $\text{[math]}$ ；
当2＜t＜4时，M在BC上 $\text{[math]}$ ，故t₄=-4（舍去）．
综上所述，当 $\text{[math]}$ 、t₂=4或t₃= $\text{[math]}$ 时，△BMN与△ABD相似．
分析：（1）根据等腰梯形的性质：两腰相等，两个底角相等，来作答；
（2）过M作MH⊥BN于H，则AM=4t，BM=8-4t，MH=4-2t，BN=2 $\text{[math]}$ t，然后根据题意列出代数式求值；
（3）根据相似三角形的不同的对应角与对应边分别来解答．
点评：总结：（1）等腰梯形的性质：两腰相等、两个底角相等；对角线平分对角；
（2）相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．