Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，AD=3，DB=4，将图1中△ADE绕点D顺时针旋转90°可以得到图2，则图1中△ADE和△BDF面积之和为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意易证得四边形DECF是正方形，则可证得△AED∽△DFB，设DE=CE=CF=DF=x，由相似三角形的对应边成比例，可得BF=x，然后由勾股定理求得x的值，即可求得△BDF的面积，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，△ADE的面积，继而求得答案．
解答：解：如图1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
由旋转的性质可得：DE=DF，
∴四边形DECF是正方形，
∴AC∥DF，DE∥BC，
∴∠A=∠FDB，∠EDA=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴，
设DE=CE=CF=DF=x，
∴，
∴BF=x，
在Rt△BDF中，BD²=DF²+BF²，
∴4²=x²+（x）²，
解得：x=，
∴DF=，BF=，
∴S_△BDF=DF•BF=××=，
∵S_△BDF：S_△DAE=（）²=，
∴S_△ADE=，
∴S_△ADE+S_△BDF=+=6．
故答案为：6．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．