题目内容
8．如图1，在平面直角坐标系中，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点I．（1）求∠AIB的度数；
（2）如图2，过I作IC⊥OB于点C，求证：AB-AO+BO=2BC．
（3）如图3，D为x轴正半轴上一动点，作△BID关于DI的对称图形△B′ID，B′D交AB于点E，交y轴于点F，若AO=6，BO=8，则下列结论中：①△AEF的周长是定值；②△AEF的面积是定值，其中有且只有一个结论是正确的，请指出正确的结论并求其值．
分析 （1）由角平分线和三角形的内角和即可求出结论；
（2）利用三角形内切圆的性质，得出IC=IM，BC=BN，AN=AM，OC=OM，最后用等量代换即可得出结论；
（3）先求出AB，用（2）的结论求出BC，进而得出OM，最后得出AM=AG=4，进而判断出B'D和△AOB的内切圆相切，最后用切线长定理即可．
解答 解：（1）∵∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点I．
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABO，∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAO，
∴∠ABI+∠BAI=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠BAO）=45°，
∴∠AIB=180°-（∠ABI+∠BAI）=135°；
（2）如图2，
过点I作IM⊥OA，IN⊥AB，
∵∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点I，
∴IC=IM，BC=BN，AN=AM，OC=OM，
∴AB-AO+OB=BN+AN-AO+BC+OC=BC+AM-AO+BC+OM=2BC+（AM+OM）-OA=2BC；
（3）①△AEF的周长是定值
理由：如图3，
作△AOB的内切圆和OA，AB边相切于G，M，
∵AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
由（2）知，AB-AO+BO=2BC，
∵OA=6，OB=8，
∴2BC=10-6+8=12，
∴BC=6，
∴OG=OC=OB-BC=8-6=2，
∴AG=OA-OG=6-2=4，
过点I作IN⊥B'D，
∵△BID关于DI的对称图形△B′ID，
∴IC=IN，
∴B'D切⊙I于N，
∵AM，AG切⊙I，
∴AM=AG=4，EM=EN，FG=FN，
∴①△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+EN+FN+AF=AE+EM+FG+AG=AM+AG=8．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角平分线，三角形的内角和公式，三角形的内切圆的性质，切线长定理，得出AB-AO+OB=2BC是解本题的关键，判断出B'D是△AOB的内切圆的切线是解本题的难点．
如图，点A、B分别在双曲线y=$\frac{2}{x}$和y=$\frac{6}{x}$上，四边形ABCO为平行四边形，则?ABCO的面积为4．
| 星 期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
| 每股涨跌（元） | +4 | +4.5 | -1 | -2.5 | +2 |
（2）本周内的最高价每股是多少元？最低价每股是多少元？
（3）已知李丽买进股票时付1.5‰的手续费，卖出时需付1.5‰成交费的手续费和1‰的交易费，如果她在星期六收盘时全部卖出，她的收益情况如何？