已知如图所示.梯形ABCD中.AB∥DC.AD＝BC.延长AB到E.使BE＝DC．求证AC＝CE．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝DC．求证AC＝CE．

答案：
解析：

　　证法1：∵四边形ABCD是等腰梯形，

　　∴∠ADC＝∠BCD．

　　又∵DC∥AB，

　　∴∠DCB＝∠CBE．

　　在△ADC与△CBE中，AD＝BC，∠ADC＝∠CBE，DC＝BE，

　　∴△ADC≌△CBE．∴AC＝CE．

　　证法2：如图所示，连结DB，

　　∵DC∥BE，DC＝BE，

　　∴四边形DCEB为平行四边形．∴DB＝CE．

　　又∵四边形ABCD为等腰梯形，

　　∴AC＝DB．∴AC＝CE．

　　证法3：如图所示，作CF⊥AE于F，

　　DM⊥AE于M，在△AMD与△BFC中，

　　∠DAM＝∠CBF，AD＝BC，∠DMA＝∠CFB＝90°，

　　∴△AMD≌△BFC．∴AM＝BF．

　　又∵DC＝BE，

　　∴AM＋MF＝BF＋BE．

　　∴F为AE中点，CF为AE的垂直平分线．

　　∴AC＝EC．

　　证法4：如图所示，连结BD，

　　∵DC∥AB，DC＝BE，

　　∴四边形BECD为平行四边形．

　　∴∠2＝∠3．

　　又四边形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC＝BD．

　　又∵AD＝BC，AB＝AB，

　　∴△ABC≌△BAD．

　　∴∠1＝∠2．

　　∴∠1＝∠3，∴AC＝CE．

　　分析：本题的证法很多．(1)由于AC与CE具有相同端点C，并且构成了△ACE，所以只需证CA＝CE即可．(2)欲证AC＝CE，选择一个中间量DB，证AC＝DB，CE＝DB即可．(3)借助线段垂直平分线的性质证AC＝CE．(4)欲证AC＝CE，只需证∠1＝∠3，欲证∠1＝∠3，只需找一中间角∠2，使∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1－∠3即可得证．