题目内容
如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】分析：根据完全平公式计算即可．
解答：解：由已知3n+1是一个完全平方数，所以我们就设3n+1=a2，
显然a2不是3的倍数，于是a=3x±1，
从而3n+1=a2=9x2±6x+1，n=3x2±2x，
即n+1=2x2+（x±1）2=x2+x2+（x±1）2，
即把n+1写为了x，x，x±1这三个数的平方和，
也就是说表示成了3个完全平方数的和，
所以k=3．
故选C．
点评：此题难度较大，涉及到整除带余数的计算，解答此题首先要清楚完全平方式的特点，还要利用到怎样表示不是3的倍数的数字的方法，综合性较强，能充分考查到完全平方式和完全平方数的特点．
解答：解：由已知3n+1是一个完全平方数，所以我们就设3n+1=a2，
显然a2不是3的倍数，于是a=3x±1，
从而3n+1=a2=9x2±6x+1，n=3x2±2x，
即n+1=2x2+（x±1）2=x2+x2+（x±1）2，
即把n+1写为了x，x，x±1这三个数的平方和，
也就是说表示成了3个完全平方数的和，
所以k=3．
故选C．
点评：此题难度较大，涉及到整除带余数的计算，解答此题首先要清楚完全平方式的特点，还要利用到怎样表示不是3的倍数的数字的方法，综合性较强，能充分考查到完全平方式和完全平方数的特点．
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