题目内容
如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为
3
3
．分析：根据3n+1是一个完全平方数，设3n+1=m2，移项，因式分解，得出m+1，m-1中必有一个是3的倍数，设其中一个为3a，用含a的代数式表示n，再把n+1用含a的代数式表示，变形成几个完全平方数的和即可．
解答：解：设3n+1=m2，则3n=m2-1=（m+1）（m-1），
故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，
不妨设m-1=3a，
则3n=m2-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，
即n=a（3a+2），
则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，
故其最小值为3．
故答案为：3．
故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，
不妨设m-1=3a，
则3n=m2-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，
即n=a（3a+2），
则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，
故其最小值为3．
故答案为：3．
点评：本题考查了完全平方数．关键是运用字母代替数，将所求式子变形，得出几个完全平方数的和，求出k的最小值．
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