Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．

Answer 1

解：（1）DF与⊙O相切．理由如下：
连接OD． 
 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB=∠C=60°，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DO⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）连接CD．∵CB是⊙O直径，
∴DC⊥AB．
又∵AC=CB=AB，
∴D是AB中点，
∴AD=．
在直角三角形ADF中，∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°，
∴，
∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
∵∠C=60°，
∴∠HFC=30°，
∴，
∴．