Question

△ABC中，AC=4，AD是∠BAC的平分线，BD=2，AD的垂直平分线EF交直线BC于点F，交AD于点E，交AC于M，AF=6，则AM=________．

Answer 1

或
分析：分两种情况：点F在BC的反向延长线上和延长线上；先证明△ACF∽△BAF，可求出CF，再证明DM∥BA，由平行线分线段成比例定理可得出AM的长．
解答：解：连接DM，设AM=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，DM=AM=x，
∴DF=AF=6，BD=2，
∴BF=6-2=4
∴∠DAF=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAF=∠C，
∴△ACF∽△BAF，
∴=，
∴AF²=BF•CF，
即36=4CF，
解得CF=9，
∴CD=3，
∵∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADM，
∴DM∥BA，
∴=，
即=，
解得x=
∴AM=
连接DM，设AM=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，DM=AM=x，
∵AF=6，∴DF=AF=6，
∴∠DAF=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠CAF，
∴△ACF∽△BAF，
∴=，
∴AF²=BF•CF，
即36=（2+6）•CF，
解得CF=，
∵∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADM，
∴DM∥BA，
∴=，
即=，
解得x=
∴AM=．
故答案为或．
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．还考查了三角形角平分线的性质以及等边三角形的判定和性质．