Question

如图，梯形ABCD，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，连接AF，G为BC中点，连接DG交CF于M．
证明：（1）CM=AB；
（2）CF=AB+AF．

Answer 1

证明：（1）∵△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，
∴BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
又∵G为BC中点，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDC=45°，
在△ABD与△MCD中，
，
∴△ABD≌△MCD，
∴CM=AB；

（2）∵△ABD≌△MCD，
∴AD=MD，
又∵G为BC中点，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDB=45°，
在△AFD与△MFD中，
，
∴△AFD≌△MFD，
∴AF=MF；
∴CF=CM+MF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
分析：（1）通过ASA证明△ABD≌△MCD，根据全等三角形的即可得出性质CM=AB；
（2）由△ABD≌△MCD，得到AD=DM，∠ADB=∠MDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠MDB，证出△ADF≌△MDF，即可得到答案．
点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．