Question

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6cm，AC＝8cm，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R、交DE于G，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P运动时间为ts．

（1）点D到BC的距离DH的长是     ；
（2）当四边形BQGD是菱形时，t=     ，S_△EGR=     ；
（3）令QR＝y，求y关于t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）DH=；（2）t=1.2s，S_△EGR =；（3）；（4）或4.2或5.7

试题分析：（1）先根据直角三角形的等面积法求得斜边上的高，再根据D、E分别是边AB、AC的中点即可得到结果；
（2）根据菱形的四条边长相等的性质及勾股定理即可求得时间t，再根据三角形的面积计算即可；
（3）△BDC中BH=，BQ=+t，先根据QR∥BA证得△RQC∽△ABC，再根据相似对角线的性质即得结果；
（4）分、、当三种情况，根据锐角三角函数的定义及等腰三角形的性质求解即可.
（1）DH=；（2）t=1.2s，S_△EGR =；
（3）△BDC中BH=，BQ=+t，
，
．
，
，
，
，
；
(4)存在，分三种情况：令BQ=x
①当时，过点作于，则．
，，
．
，
，
，
．此时t=．
②当时，，
．此时t=4.2．
③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，
．
，
，
．此时t=5.7．
综上所述，当t为或4.2或5.7时，为等腰三角形．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．