Question

【题目】如图①,抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，连接，二次函数的对称轴与轴的交于点，作射线．

抛物线的解析式为 ； 点坐标为_ ；

求证：射线是的角平分线；

如图②，点是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为．在图②中探究；是否存在点，使褥恰好落在轴的正半轴上?若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）存在，

【解析】

（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；把抛物线的表达式化成顶点式得到点的坐标；

（2）过点作，垂足为点，先计算出OC、BC、BE的长度，再利用三角函数计算出EF的长度，证得，从而证出射线是的角平分线；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，由点的坐标可得出点，的坐标，进而可得出的长度，结合点的坐标可得出的长度，由菱形的性质可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值（取正值），进而可得出点的坐标；

解：（1）将，代入，得：

，解得：，

二次函数的表达式为．

如图①，过点作，垂足为点

在中，

是的角平分线

存在

如图②，由题意，得

,

当时，，

点的坐标为．

设直线的解析式为

将代入

得

直线的解析式为

点

点落在轴的正半轴上

点在直线上方

过点作,垂足为点,

解得（舍弃），