Question

【题目】已知抛物线.

（Ⅰ）当抛物线经过点时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标。

（Ⅲ)点，为抛物线上的两点，设，当时，均有，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）点的坐标为，点的坐标为；（Ⅲ）的取值范围是.

【解析】

（Ⅰ）把点代入中，得到关于a的方程，解方程求出a的值，从而确定抛物线的解析式，即可求出抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的图像和自变量的取值范围确定y的最大值和最小值，再根据抛物线的最高点为的纵坐标为，求出a的值，从而确定点M、 N的坐标.

（Ⅲ）当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，推出抛物线开口向下，找出x=3时的对称点为x=-1, 结合函数图像可得：t+1≤3，由此即可解决问题；

解：（Ⅰ）∵抛物线经过，∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

∵，∴抛物线的顶点坐标为.

（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线.

∵抛物线开口向上，

∴当时，随的增大而减小；

当时，随的增大而增大.

∴当时，取得最大值；当时，取得最小值.

由，解得.

当时，.

∴点的坐标为，点的坐标为.

（Ⅲ）当时，不合题意，∴.

由，解得或.

由，解得.

∴的取值范围是.