Question

如图，点A是函数y=

1

x

的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（-

2

，-

2

）、C（

2

，

2

），试利用性质：“函数y=

1

x

的图象上任意一点A都满足|AB-AC|=2

2

”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y=

1

x

的图象上运动时，点F总在一个圆上运动，则这圆的半径为（　　）

• A、1
• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  3 2

  2

Answer 1

分析：本题给出了角平分线，给出了两条线段的定值差，因此可通过构建等腰三角形作出这个等值差进行求解．

解答：解：如图：过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D，
∵AF平分∠BAC，且AM是DC边上的高，
∴△DAC是等腰三角形，
∴AD=AC，
∴BD=AB-AC=2

2

，
即BD长为定值，
过M作MN∥BD于N，
则四边形MNBD是个平行四边形，
∴MN=BD，
在△MNF中，无论F怎么变化，有两个条件不变：
①MN的长为定值，②∠MFN=90°，
因此如果作△MNF的外接圆，那么F点总在以MN为直径的圆上运动，因此F点的运动轨迹应该是个圆．
∴圆的直径为MN，且MN=BD，BD=AB-AC=2

2

，
∴圆的半径为

2

．
故选C．

点评：本题以反比例函数为背景，结合了等腰三角形的知识、平行四边形的知识、直角三角形的知识、三角形外接圆的知识等．综合性强．在本题中能够找出AB、AC的等值差以及让F与这个等值差相关联是解题的关键．