Question

【题目】如图，抛物线经过点A（3，0），B（，0），与y轴交于点C，点P是抛物线在第四象限内的一点.

（1）求抛物线解析式；

（2）点D是线段OC的中点，OP⊥AD，点E是射线OP上一点，OE=AD，求DE的长；

（3）连接CP，AP，是否存在点P，使得OP平分四边形ABCP的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）（，）

【解析】

（1）抛物线的表达式为：，故，解得：，即可求解；

（2）过E点作交OC于点，利用易证，则可根据AAS证明得到，可得与点重合，则有，得到是等腰直角三角形，可求得；

（3）根据OP平分四边形ABCP的面积，有，设P的横坐标为x，则纵坐标为：，得到，化简即可得出P点的坐标．

解：（1）抛物线的表达式为：，
则有：，解得：，
故抛物线的表达式为：；

（2）过E点作交OC于点，

又（1）可知，抛物线的表达式为，

∴C的坐标为：（0，-3），

∴,

∵,

∴

∵

∴

在和中

∴

∴，,

∴,

即与点重合，

∴

又∵点D是线段OC的中点，

∴,

∴是等腰直角三角形，

∴；

（3）答：存在点P，使得OP平分四边形ABCP的面积．

证明：设P的横坐标为x，则纵坐标为：，

根据OP平分四边形ABCP的面积，

有：，

即：

∴

解之得：，（不合题意，舍去），

∴纵坐标为：，

∴P的坐标为：（2，-3）．