Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明。

Answer 1

解：（1）证明：如图，延长CB至E使得BE=DN，易证△ABE≌△ADN
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAM=∠MAN
∵AM是公共边
∴△ABE≌△AND
∴ME=MN
即BM+BE=MN
∴BM+DN=MN。

（2）BM+DN=MN；

（3）DN-BM=MN
如图，在DC上截取DE=BM，易证△ADE≌△ABM
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAN=∠MAN
∵AN是公共边
∴△MAN≌△EAN
∴EN=MN
即DN-DE=MN
∴DN-BM=MN。
。