Question

【题目】已知在△ABC中，AB=BC=8cm，∠ABC=90°，点E以每秒1cm/s的速度由A向点B运动，ED⊥AC于点D，点M为EC的中点．

（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；

（2）当点E运动多少秒时，△BMD的面积为12.5cm2？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=CE，DM=

CE，得出BM=DM，再由等腰三角形的性质和三角形的外角性质证出∠BMD=90°即可；

（2）由等腰直角三角形的面积求出BM，得出CE，由勾股定理求出BE，得出AE，即可得出结果．

试题解析：（1）∵∠ABC=90°，DE⊥AC，点M为EC的中点，AB=BC，

∴BM=CE=CM，DM=CE=CM，∠BAC=∠ACB=45°，

∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，

∵∠BME=∠MBC+∠MCB，∠DME=∠MDC+∠MCD，∠MCB+∠MCD=∠ACB=45°，

∴∠BMD=∠BME+∠DME=45°+45°=90°，

∴△BMD为等腰直角三角形；

（2）由（1）得：△BMD为等腰直角三角形，

∴△BMD的面积=BMDM= BM2=12.5，解得：BM=5，

∴CE=2BM=10cm，由勾股定理得：BE= =6（cm），

∴AE=AB﹣BE=2cm，∴2÷1=2（s），

即当点E运动2秒时，△BMD的面积为12.5cm2．