Question

【题目】如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE的延长线上，AD⊥BE。

（1）求证：∠DAE+∠ABE=45°

（2）若BE＝6，求AD的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝3．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质进行证明；

（2）延长AD、BC交于点F，由BD⊥AD且BD平分∠ABC 可得AD＝FD，再根据∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，进一步证明△AFC≌△BEC，则可得AF＝BE，从而得到AD＝BE．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

又∵BE平分∠ABC交AC于E，

∴∠CBE＝∠ABE，

∵AD⊥BE，

∴∠DAE＋∠CAB＋∠ABE＝90°，即∠DAE＋∠ABE＋45°＝90°，

∴∠DAE＋∠ABE＝45°；

（2）解：如图，延长AD、BC交于点F，

∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，

∴AD＝FD，

∵∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，

∴∠FAC＝∠CBE，

在△AFC和△BEC中，，

∴△AFC≌△BEC（ASA），

∴AF＝BE，

∴AD＝AF＝BE＝3．