题目内容
如图，△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q（1）若
| AB |
| BC |
| AO |
| CO |
| OP |
| OQ |
（2）若
| AB |
| BC |
| 1 |
| 3 |
| AO |
| CO |
| 1 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
（3）若
| OP |
| OQ |
| 3 |
| 5 |
| AB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| AO |
| CO |
分析：（1）根据四点共圆的性质以及圆周角定理求出即可；
（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，先证△OMP∽△ONQ，再根据相似三角形的性质与相关三角形的面积比的关系求出
的值；
（3）与（2）互逆．
（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，先证△OMP∽△ONQ，再根据相似三角形的性质与相关三角形的面积比的关系求出
| OP |
| OQ |
（3）与（2）互逆．
解答：
解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，
∴P，B，Q，O四点共圆，
∵
=1，
=1，
∴∠PBO=∠OBC，
∴PO=QO，
∴
=1；
（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O，作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得
=
，
又
=
=
，
即可得
=
；
（3）过O作OM⊥BA的延长线于M，
O作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得
=
，
∴
=
，
∴
=
．
解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，∴P，B，Q，O四点共圆，
∵
| AB |
| BC |
| AO |
| CO |
∴∠PBO=∠OBC，
∴PO=QO，
∴
| OP |
| OQ |
（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O，作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得
| OP |
| OQ |
| OM |
| ON |
又
| SAOB |
| SCOB |
| AO |
| CO |
| 1 |
| 2 |
即可得
| OP |
| OQ |
| 3 |
| 2 |
（3）过O作OM⊥BA的延长线于M，
O作ON⊥BC的于N，连BO，先证△OMP∽△ONQ，
得
| OP |
| OQ |
| OM |
| ON |
∴
| SAOB |
| SCOB |
| 3 |
| 10 |
∴
| AO |
| CO |
| 3 |
| 10 |
点评：本题结合三角形的面积计算考查了相似三角形的判定和性质，其中（2）与（3）之间互为逆运算．
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