Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE//CD，交AC的延长线于点E，连接BC.

（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直径.

Answer 1

（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可证AB⊥BE，从而可证BE为⊙O的切线；（2）7.5

试题分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可证AB⊥BE，从而可证BE为⊙O的切线；
（2）由垂径定理知：CM=CD，在Rt△BCM中，已知tan∠BCD和CM的值，可将BM，CM的值求出，由弧BC=弧BD，可知：∠BAC=∠BCD，在Rt△ACM中，根据三角函数可将AM的值求出，故⊙O的直径为AB=AM+BM．
（1）∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CM=CD，弧BC=弧BD，CM=CD=3，
∴∠BAC=∠BCD．
∵tan∠BCD=，
∴BM=，
∵tan∠BCD=．
∴AM=6．
∴AB=AM+BM=7.5．
点评：本题知识点多，综合性强，是中考常见题，一般难度不大，熟练掌握解直角三角形的运算能力是解题的关键.