Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x²+bx+c的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，
∴A（0，2），
∵抛物线y=x²+bx+c的图象过点A（0，2），E（-1，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x²+x+2．

（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，
∴OC=，
又C点在x轴负半轴上，
∴点C的坐标为C（，0）．

（3）抛物线y=x²+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，
令x²+x+2=x+2，
解得x₁=0，x₂=，
∴B（，）．
如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，
则D（，0），BD=，DP=6-=．
点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：
①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．
设M（m，0），则MD=-m．
∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，
即，
解得m=，
∴此时M点坐标为（，0）；
②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．
设M（m，0），则MD=-m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，
∴，即，
化简得：m²-m+=0，
解得：m₁=，m₂=，
∴此时M点坐标为（，0），（，0）；
（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）
③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．
此时M点坐标为（0，）；
④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．
设M′（0，m），则AM=2-=，BM=，MM′=-m．
易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，
∴，即，
解得m=，
∴此时M点坐标为（0，）．
综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．
符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．
分析：（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；
（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏．求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点．难点在于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论，不要遗漏．