Question

【题目】如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于，两点，其中点的横坐标是．

求这条直线的函数关系式及点的坐标．

在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

过线段上一点，作轴，交抛物线于点，点在第一象限，点，当点的横坐标为何值时，的长度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) 直线，B(8,16);(2)存在，或，理由见解析；（3）当的横坐标为时，的长度的最大值是

【解析】

（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；

（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；

（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=-a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．

解：∵点是直线与抛物线的交点，且横坐标为，

∴，点的坐标为，

设直线的函数关系式为，

将，代入得，

解得，

∴直线，

∵直线与抛物线相交，

∴，

解得：或，

当时，，

∴点的坐标为；

如图，过点作轴，过点作轴，交点为，

∴，

∵由，可求得．

设点，同理可得，

，

①若，则，即，

解得：；

②若，则，即，

解得：或；

③若，则，即，

解得：；

∴点的坐标为，，，设，如图，设与轴交于点，

在中，由勾股定理得，

又∵点与点纵坐标相同，

∴，

∴，

∴点的纵坐标为，

∴，

∴，

∴当，

又∵，

∴取到最小值，

∴当的横坐标为时，的长度的最大值是．