Question

【题目】在平面直角坐标系中，过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分別作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是强点．

（1）点M(l，2)，N(4，4)，Q(6，－3)中，是强点的有 ；

（2）若强点P(2a，3)在双曲线上，求a和b的值．

Answer 1

【答案】（1）N，Q；（2）a=3，b=20或a=3，b=16

【解析】

（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点N，Q是强点；

（2）分a>0及a<0两种情况考虑：①当a>0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出b值；②当a<0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出b值．综上，即可得出结论．

（1）∵M(l,2)，N(4,4)，Q(6,－3)

∵(1+2)×2≠1×2，(4+4)×2=4×4，(6+3)×2=6×3，

∴点N，Q是强点．

故答案为：N，Q

（2）分两种情况考虑：

①当a>0时，(2a+3)×2=6a，

∴a=3

∵点P(6,3)在双曲线上，

∴3×6= b-2，

∴b=20；

②当a<0时，(2a+3)×2=6a，

∴a=3

∵点P(6,3)在双曲线上，

∴3×(-6)=b-2，

∴b=16

综上所述：a=3，b=20或a=3，b=16

故答案为：a=3，b=20或a=3，b=16