Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0）、（3，2），点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y=kx+b．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y=ax²-5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点P的坐标求出b的值，再根据对称性结合点A、B的坐标求出点D的坐标，然后利用待定系数法求出BD的解析式，联立直线BD与PQ的解析式，根据x的值在1到3之间列出不等式求解即可；
（2）根据（1）的结论求出k值，再根据抛物线的对称轴x=-

b

2a

求出对称轴解析式，然后求出顶点坐标，再求出直线PQ与对称轴的交点坐标，然后根据顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部列式求解即可．

解答：解：（1）直线y=kx+b经过P（0，3），
∴b=3，
∵B（3，2），A（5，0），BD=BA，
∴点D的坐标是（1，0），
∴BD的解析式是y=x-1（1≤x≤3），
依题意，得

y=x-1 y=kx+3

，
∴x=

4

1-k

，
∴1≤

4

1-k

≤3，
解得-3≤k≤-

1

3

；

（2）∵-3≤k≤-

1

3

，且k为最大整数，
∴k=-1，
则直线PQ的解析式为y=-x+3，
又∵x=-

b

2a

=-

-5a

2×a

=

5

2

，

4ac-b2

4a

=

-(-5a)2

4a

=-

25

4

a，
∴抛物线y=ax²-5ax的顶点坐标是（

5

2

，-

25

4

a），
对称轴为x=

5

2

，
解方程组

y=-x+3 x= 5 2

，得

x= 5 2 y= 1 2

，
即直线PQ与对称轴为x=

5

2

的交点坐标为（

5

2

，

1

2

），
∴

1

2

＜-

25

4

a＜2，
解得-

8

25

＜a＜-

2

25

．

点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求直线的解析式，两直线交点的求解方法，不等式组的求解，以及二次函数的性质，顶点坐标，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．