Question

若a₃=5，a₅=8，并且对所有正整数n，都有a_n+a_n+1+a_n+2=7，则a₂₀₀₉=

8

．

Answer 1

分析：先由a_n+a_n+1+a_n+2=7，可得a₁+a₂+a₃=7①，a₂+a₃+a₄=7②，a₃+a₄+a₅=7③，①+③-②求得a₃=-6，观察发现这个数列为5，8，-6，5，8，-6，…，三个一循环，依此得到a₂₀₀₉的值．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃=7①，a₂+a₃+a₄=7②，a₃+a₄+a₅=7③，
∴①+③-②，得5+a₃+8=7，a₃=-6，
∴5+a₂-6=7，a₂=8，
8-6+a₄=7，a₄=5，
∴这个数列为5，8，-6，5，8，-6，…，三个一循环，
∵2009÷3=669余2，则a₂₀₀₉=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了整数问题的综合运用，解题的关键是求出a₃的值，注意这个数列为5，8，-6，5，8，-6，…，三个一循环．