Question

【题目】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点．

求k的值和抛物线的解析式；

为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点．

若以为顶点的四边形OBNP是平行四边形时，求m的值．

连接BN，当时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）①或②与

【解析】试题分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得k，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出PN的长，根据平行四边形的性质得：OB=PN=2，列方程解出即可；

②有两解，N点在AB的上方或下方，作辅助线，构建等腰直角三角形，由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，根据AB=AH+BH=t+t=，可得BG和BN的解析式，分别与抛物线联立方程组，可得结论．

试题解析：解：（1）把A（3，0）代入y=kx+2中得，0=3k+2，k=﹣，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2，∴B（0，2），把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，则，解得：，二次函数的表达式为：y=﹣；

（2）①如图1，设M（m，0），则P（m，m+2），N（m，﹣）

∴PN=yN﹣yP=（﹣）﹣（﹣m+2）=﹣+4m，由于四边形OBNP为平行四边形得PN=OB=2，

∴+4m=2，解得：m=或

②有两解，N点在AB的上方或下方，如图2，过点B作BN的垂线交x轴于点G，过点G作BA的垂线，垂足为点H．

由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，∴GH=BH，设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，∴AG=×=，从而OG=OA﹣AG=3﹣=，即G（，0）

由B（0，2），G（，0）得：

直线BG：y=﹣5x+2，直线BN：y=0.2x+2．

则，解得：x1=0（舍），x2=，即m=；

则，解得：x1=0（舍），x2=；即m=；

故m= 与m=为所求．