Question

【题目】如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．

（1）求OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

Answer 1

【答案】（1）OC=2，BC=2；（2）S与t的函数关系式是：S=；（3）当t为或时，△OPM是等腰三角形．

【解析】整体分析：

（1）先求出OA，判断OC=CB，再在Rt△AOC中用勾股定理列方程求解；（2）分点P在BC上，与点C重合，在CO上，与点O重合四种情况分类讨论，注意画出相应的图形，利用三角形的面积公式和三角形面积的和差关系求解；（3）因为等腰三角形的腰不确定，所以需要分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列方程求解.

（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴∠B=30°，∴OA=OB=，

由勾股定理得：AB=3，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，

在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴()+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，

答：OC=2，BC=2．

（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2﹣t，CQ=t，

过P作PH⊥OC于H，∴∠HCP=60°，∠HPC=30°，

∴CH=CP=（2﹣t），HP=（2﹣t），

∴S△CPQ=CQ×PH=×t×（2﹣t），

即S=﹣t2+t；

②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，

∴S=0，

③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，

<>过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，

∵CO=2，∠NOC=60°，∴CZ=，CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，

∴∠GPO=30°，∴OG=OP=（4﹣t），PG=（4﹣t），

∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），

即S=t2﹣t+．

④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）

过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，

∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=BC=1，

有勾股定理得：BM=，

∵OB=2，∴OM=2﹣==CK，∴S=PQ×CK=×2×=；

综合上述：S与t的函数关系式是：S=；

（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB=90°，

∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°，

①OM=PM时，∠MOP=∠MPO=30°，

∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠MPO=90°，

∴OP=2OQ，∴2（t﹣2）=4﹣t，解得：t=，

②PM=OP时，∠PMO=∠MOP=30°，

∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在；

③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，OP=4﹣t，∠QOP=60°，

∴∠OPG=30°，∴GO=（4﹣t），PG=（4﹣t），

∵∠AOC=30°，OM=OP，∴∠OPM=∠OMP=75°，

∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠QPO=45°，∴PG=QG=（4﹣t），

∵OG+QG=OQ，∴ （4﹣t）+（4﹣t）=t﹣2，解得：t=

综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．