Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．

（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；

（2）如图②，若，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）先根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可证得△ABC为等边三角形，则可得∠ACB＝60°，由点P是弧AB的中点，可得∠ACP＝30°，再结合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得结果；（2）

【解析】

试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可证得△ABC为等边三角形，则可得∠ACB＝60°，由点P是弧AB的中点，可得∠ACP＝30°，再结合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得结果；

（2）连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．由AB＝AC可得AF⊥BC，BF＝CF．由点P是弧AB中点可得∠ACP＝∠PCB，即可得到EG＝EF．由∠BPC＝∠FOC可得sin∠FOC＝sin∠BPC=．设FC＝24a，根据勾股定理可得OC＝OA＝25a，则OF＝7a，AF＝32a．在Rt△AFC中，根据勾股定理可表示出AC的长，在Rt△AGE和Rt△AFC中，根据三角函数的定义求解即可．

（1）∵弧BC＝弧BC

∴∠BAC＝∠BPC＝60°．

又∵AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形

∴∠ACB＝60°，

∵点P是弧AB的中点，

∴∠ACP＝30°，

又∠APC＝∠ABC＝60°，

∴AC＝AP；

（2）连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．

∵AB＝AC，

∴AF⊥BC，BF＝CF．

∵点P是弧AB中点，

∴∠ACP＝∠PCB，

∴EG＝EF．

∵∠BPC＝∠FOC，

∴sin∠FOC＝sin∠BPC=．

设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，

∴OF＝7a，AF＝32a．

在Rt△AFC中，AC²＝AF²+FC²，

∴AC＝40a．

在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝，

∴，

∴EG＝12a．

∴tan∠PAB＝tan∠PCB=．

考点：圆的综合题

点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.