Question

如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至6中统一用F表示）。

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决：
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A₁F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB₁交DE于点H，请证明：AH=DH。

Answer 1

解：（1）图形平移的距离就是线段BF的长
∵在Rt△ABF中，斜边长为10cm，∠BAF=30°，
∴BF=5cm，
∴平移的距离为5cm；
（2）∵∠A₁FA=30°，
∴∠GFD=60°，∠D=30°，
∴∠FCD=90°，
在Rt△EFD中，ED=10cm，
∵FD=，
∴FG=。
（3）证明：在△AHE与△DHB₁中，
∵∠FAB₁=∠EDF=30°，FD=FA，EF=FB=FB₁，
∴FD-FB₁=FA-FE，即AE=DB₁，
又∵∠AHE=∠DHB₁，
∴△AHE≌△DHB₁（AAS）
∴AH=DH。