Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C

（1）求a的值．

（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为　 　．

（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S△CMN＝4时，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）直线的表达式为：x＝3或y＝4x﹣12；（3）k＝﹣2±2．

【解析】

（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，即可求解；

（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3；当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，由△＝0即可求解；

（3）联立得：x2﹣（2+k）x+4＝0，由S△CMN＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|xM﹣xN|＝4，即可求解．

解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，

得：0＝9a﹣6﹣3，∴a＝1；

（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3

当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，

将点B坐标代入上式，解得：b＝﹣3k

则直线的表达式为：y＝kx﹣3k…①，

抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…②，

联立①②并整理得：x2﹣（k+2）x+（3k﹣3）＝0，

△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（3k﹣3）＝0，

解得：k＝4，

故：直线的表达式为：x＝3或y＝4x﹣12；

（3）联立 得：x2﹣（2+k）x+4＝0，

xM+xN＝k+2，xMxN＝4，

∵S△CMN＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|xM﹣xN|＝4，

∴×4×＝4，

即：（k+2）2＝20，

解得：k＝﹣2±2．