Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，3），O（0，0），B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．

（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；

（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）若S：S_△ANB=2：3时，求出此时N点的坐标．

Answer 1

解：（1）设直线OA的解析式为y=k₁ x，∵A（4，3），

∴3=4k₁，解得k₁=，

∴OA所在的直线的解析式为：y=x，

同理可求得直线AB的解析式为；y=﹣x+9，

∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=﹣x+b，把M（1，0）代入得：b=，

∴直线MN的解析式为y=﹣x+，

解，得，

∴N（，）．

 

（2）如图2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，则AG=3．

∵MN∥AB，

∴△MBN的面积=△PMN的面积=S，

∴△OMN∽△OBA，

∴NH：AG=OM：OB，

∴NH：3=x：6，即NH=x，

∴S=MB•NH=×（6﹣x）×x=﹣（x﹣3）²+（0＜x＜6），

∴当x=3时，S有最大值，最大值为．

 

（3）如图2，∵MN∥AB，

∴△AMB的面积=△ANB的面积=S_△ANB，△NMB的面积=△NMP的面积=S

∵S：S_△ANB=2：3，

∴MB•NH：MB•AG=2：3，即NH；AG=2：3，

∵AG⊥OB于G，NH⊥OB，

∴NH∥AG，

∴ON：OA=NH：AG=2：3，

∵MN∥AB，

∴OM：OB=ON：OA=2：3，

∵OA=6，

∴=，

∴OM=4，

∴M（4，0）

∵直线AB的解析式为；y=﹣x+9，

∴设直线MN的解析式y=﹣x+b

∴代入得：0=﹣×4+b，

解得b=6，

∴直线MN的解析式为y=﹣x+6，

解得，

∴N（，2）．