Question

17．如图，已知B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q，则结论：①AE=CD；②CQ=CA；③PQ∥AD；④EP=QD中，其中正确结论是①③④．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质可证得△ABE≌△CBD，可求得AE=CD，可判断①；由全等三角形的性质得出∠BAP=∠BCQ，证出∠ABC=∠CBQ=60°，由ASA证明△ABP≌△CBQ，得出CQ=AP≠CA，可判断②；证明△PBQ是等边三角形，得出∠BPQ=60°=∠ABC，由平行线的判定方法得出PQ∥AD，可判断③；由AE=CD，AP=CQ，得出EP=QD，可判断④；可求得答案．

解答 解：
∵△ABC、△BDE均为等边三角形，∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，
∴180°-∠EBD=180°-∠ABC，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，故①正确；
∴∠BAP=∠BCQ，
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ABC=∠CBQ=60°，
在△ABP与△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=BCQ}\\{AB=CB}\\{∠ABC=∠CBQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴CQ=AP≠CA，故②不正确；
∵∠CBQ=60°，BP=BQ，
∴△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°=∠ABC，
∴PQ∥AD，故③正确；
∵AE=CD，AP=CQ，
∴EP=QD，故④正确；
综上可知正确的为①③④，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、平行线的判定等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键．