Question

【题目】如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，此时PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根据勾股定理即可得出答案．

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，

∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，

又∵B为的中点， ∴，

∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵MN=4， ∴OA′=OB=MN=×4=2，

∴Rt△A′OB中，A′B=，

即PA+PB的最小值为．

故答案为：．