Question

求实数x、y的值，使得（y-1）²+（x+y-3）²+（2x+y-6）²达到最小值．

Answer 1

考点：函数最值问题

专题：

分析：首先假设a=y-1，b=x+y-3，c=2x+y-6，得出可得a-2b+c=-1，进而利用琴生不等式得出a²+b²+c²=a²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+c²≥

1

6

（a-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b+c）²，进而求出即可．

解答：解：a=y-1，b=x+y-3，c=2x+y-6，
可得a-2b+c=-1，
则原式=a²+b²+c²=a²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+c²≥

1

6

（a-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b+c）²=

1

6

（a-2b+c）²=

1

6

，
取等条件a=-

1

2

b=c，
即y-1=-

1

2

（x+y-3）=2x+y-6，

y-1=- 1 2 (x+y-3) y-1=2x+y-6

，
解得：

x= 5 2 y= 5 6

，
∴x=

5

2

，y=

5

6

，此时最小值

1

6

．

点评：此题主要考查了函数最值问题，利用琴生不等式得出a²+b²+c²≥

1

6

（a-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b+c）²是解题关键．