Question

在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理即可求解；
（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE=

1

2

AC=1．证明当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时即可求解；

解答：解：（1）当A点在坐标原点时，如图，

AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以OB=

AC2+BC2

=

5

．
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．

（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，OA=OC=

2

．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以CD=BD=

2

2

，BE=BD+DE=BD+OC=

3 2

2

，
因此OB=

( 2 2 )2+( 3 2 2 )2

=

5

．

（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，

由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l²=OB²=cos²θ+（sinθ+2cosθ）²=cos²θ+sin²θ+4sinθcosθ+4cos²θ=1+2sin2θ+4cos²θ=3+2sin2θ+2（2cos²θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2

2

[

2

2

sin2θ+

2

2

cos2θ]=3+2

2

sin(2θ+

π

4

)
当θ=

π

8

时，l2max=3+2

2

=(1+

2

)2，所以lmax=1+

2

．
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE=

1

2

AC=1．

在△ACB中，BC=1，CE=

1

2

AC=1，∠BCE=90°，
所以BE=

2

．
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB=1+

2

，
若点O，E，B在一条直线上，
则OB=OE+EB=1+

2

，
所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，
最大值是1+

2

．
当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，
从下图可见，OE=1，EB=

2

．∠CEB=45°，但CE=OE=1，
∠ECO=∠COE=

∠CEB

2

=

45°

2

=22.5°．

点评：本题考查了两点间的距离公式及坐标与图形的性质，难度较大，主要是巧妙地利用了线段的基本性质：两点间线段最短．一般地说，线段基本性质常用来求最小值．即线段AB长为定值时，AC+BC的最小值为AB，此时C在AB上．这是线段基本性质的一种应用；而另一种应用往往为人们所忽视：如果两条线段AC和CB在C点接在一起，AC=m与CB=n都是定长；那么AC+BC的最大值为m+n，此时C、A、B三点共线．