题目内容
【题目】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为
的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，
为原点，
，
，
是
轴上的一个动点，
（
、、
按顺时针方向排列），
与经过
、
、三点的
交于点
，
平分
，连结
，
．显然
、
、
是半直角三角形．
（1）求证：
是半直角三角形；
（2）求证：
；
（3）若点的坐标为
，求
的长；
（4）交
轴于点
，求△ACF与△BCA的面积之比.
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析
【解析】
（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°。根据定义即可得出答案；
（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；
（3）设圆的半径为r，根据勾股定理可列方程求出r值，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；
（4）先证明△ADE≌△CDE，则∠EAC=∠ACE，做辅助线可知：△DGA是等腰直角三角形，由△ACF∽△BCA，由面积比等于相似比即可求出答案。
解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=45°，∵
是半直角三角形
（2）∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC
（3）
如上图1，连接AM，ME，设
的半径为r
点
的坐标为
，
，
由
得
解得
，
的半径为
∵
，
∴∠EMA=2∠ABE=90°
，
（4）
如图2，∵∠ADE=∠CDE=45°，∠DEA=∠DEC，
∴∠DCB=∠DAE
∵∠DAE=∠DBC
∴∠DCB=∠DBC
∴BD=DC=AD
∵DE=DE
∴△ADE≌△CDE
∴AE=CE
∴∠EAC=∠ACE
延长DE交AC于点G，过A作AH⊥BC于H
∴DG⊥AC
∴△DGA是等腰直角三角形
∴∠DAG=45°
∵∠FAC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACF
∴△ACF∽△BCA
∵点D坐标（0，4）
∴OD=4
由勾股定理得AD=
∴AG=
∴AC=2AG=
∵∠ABC=45°，AB=4
∴AH=BH=
由勾股定理得：CH=
∴BC=BH+CH=
∴
