Question

4．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C=40°，∠B=60°，求：①∠CAE的度数；②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C=α，∠B=β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE=∠HAE即可．
（3）结论：∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE=∠EAB-∠BAH，∠BAH=90°-∠B，∠BAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）推出∠HAE=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），由AH∥FD，推出∠DFE=∠HAE，即可解决问题．

解答 解：（1）如图（1）．

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-40°=80°，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°；

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．

由（1）可知∠HAE=10°，
∵AH∥EF，
∴∠DFE=∠HAE=10°

（3）结论：∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．理由如下：
如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．

∵∠HAE=∠EAB-∠BAH，∠BAH=90°-∠B，∠BAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠HAE=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C-（90°-∠B）
=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．