Question

【题目】如图所示，线段是⊙的直径，过点作直线交⊙于、两点，过点作的角平分线交⊙于，过作的垂线交于

（1）证明是⊙的切线

（2）证明

（3）若⊙的直径为10，，求

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）8.

【解析】

（1）连接OD，由∠ADE＋∠DAE＝90°，＝＝∠ODA，即可证明∠ODE＝90°．

（2）连接CD，根据已知条件证明∽即可求解；

（3）过点O作OM⊥AB于点M，则四边形ODEM为矩形，设DE=OM=x,则AE=4-x,利用在中，,列出方程求解x,再利用垂径定理即可求解.

（1）证明：连接OD

∵

∴

∵

∴

∴

∴

又∵

∴

为⊙O切线

（2）解：连接CD

∵为⊙O的直径，DE⊥AF

∴ADC=90°，∠DEA=90°，

∴∠ADC=∠AED

∴在和中

∴∽

∴

∴

∵

∴

（3）过点O作OM⊥AB于点M，则四边形ODEM为矩形，

设DE=OM=x,则AE=4-x,

∴

在中，,

即：

解得：（舍去）

∴

∵由垂径定理得：AB=2AM=8