题目内容

原题：梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，∠DCB=60°，BC=4，AD=2，△PMN，PM=MN=NP=a，BC与MN在一直线上，NC=6，将梯形ABCD向左翻折180°．
（1）向左翻折二次，a≥2时，求两图形重叠部分的面积；
（2）向左翻折三次，重叠部分的面积等于梯形ABCD的面积，a的值至少应为多少？
（3）向左翻折三次，重叠部分的面积恰好等于梯形ABCD的面积的一半，求a的值．

解：（1）∵CB=4，CN=6，∴GN=2．
又∵∠PNM=60°且∠EGN=60°，
∴△EGN为正三角形．
∴△EGN的高为h= $\text{[math]}$ ．
∴S_△EGN= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）在直角梯形ABCD中，
∵CD=4，∠DCB=60°，

∴AB=2 $\text{[math]}$ ．
在Rt△KHM中，tan30°= $\text{[math]}$ ，
MH=2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2，
∴MN=2+4+2=8；

（3）S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ （2+4）•2 $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ ．
当MP经过H点时，交D′G于F，
则 S_△HGF= $\text{[math]}$ ×4×2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ S_梯形ABCD．
∴HG＜4，
设HG=x，则有 h′= $\text{[math]}$ x．
∴S_公共部分= $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x²．
∴ $\text{[math]}$ x²=3 $\text{[math]}$ ，
解得：x=2 $\text{[math]}$ 或-2 $\text{[math]}$ （舍去）．
∵GN=2，
∴等边三角形PNM的边长a为（2 $\text{[math]}$ +2）cm．
分析：（1）因为∠DCB=60°，△PMN也是等边三角形，这样容易知道△EGN也是等边三角形，易求GN=2，所以求两图形重叠部分的面积就可以求出；
（2）如图，等边三角形的边长MN=GN+HG+MH，其中只要求MH，利用已知解Rt△KHM就可以了；
（3）若现在重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，如图首先判断HG的大小，梯形ABCD的面积可以直接求出；然后设HG为x，根据已知条件可以得到关于x的方程，解方程就可以得到题目的结果．
点评：本题考查了翻折变换及直角梯形的知识，难度较大，图形变换比较复杂，考查了等边三角形的性质，面积计算，也考查了解直角三角形的知识，综合性比较强，注意后面两问表述的重叠面积的大小．