Question

如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB=∠ADB.

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长.

 

Answer 1

（1）证明：如答图1，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°.       （1分）  

∴∠ADB+∠EDC=90°.              

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，

∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°.

∴EA是⊙O的切线.              （2分）

（2）证明：如答图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.

∴∠CBA=∠ABC=90°.         （3分）

∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB=BF.

∴∠BAC=∠AFE.  （4分）    ∴△EAF∽△CBA.    （5分）

（3）∵△EAF∽△CBA，∴.      （6分）

∵AF=4，CF=2，∴AC=6，EF=2AB.

∴，解得AB=.∴EF=.      （7分）

∴. （8分）